Причинность,
составные объекты и
возникновение Вселенной

William S. Hatcher

Введение

Большой вклад в философию мусульманского мыслителя X-XI века Авиценны (Ибн Сина, 980-1037) широко признан.[1] В частности, Авиценна был одним из первых религиозных — или работавших в рамках определённой религиозной традиции — философов, задавшихся целью примирить «богоданные истины» (в данном случае коранические) с «научными» фактами (т.е. результатами рационально-эмпирического исследования действительности, которое в то время называли «философией»). Позже Маймонид (1134-1204) и Фома Аквинский (1225-74), опираясь на работы Авиценны, взялись за ту же задачу в отношении иудейской и христианской традиций соответственно, и оба прославились как представители высшей философской мысли в своей религии.

Принимая во внимание сильную схожесть подходов этих трёх мыслителей к своей задаче, а также глубокие связи между тремя исповедуемыми ими религиозными течениями, не приходится удивляться тому, что они поднимали одни и те же фундаментальные вопросы. Более того, поскольку каждый последующий мыслитель имел доступ к работам своих предшественников, было бы естественно ожидать прогрессивного увеличения стройности и эффективности их теорий. Однако мы увидим, что в отношении, по крайней мере, одного важнейшего вопроса — рациональных доказательств существования Бога — этого не произошло.

Говоря более конкретно, мы рассмотрим так называемое космологическое доказательство существования Бога, восходящее, по крайней мере, к хорошо известному аристотелевому доказательству необусловленной причины. Мы увидим, что Авиценна смог дать собственную версию космологического доказательства, новую как с точки зрения содержания (т.е. использованных им концепций и понятий), так и формы (т.е. использованного им метода). Вместе с тем, хотя Маймониду и Фоме Аквинскому удалось отчасти передать содержание доказательства Авиценны, они совершенно не поняли его нового метода. Почти наверняка такая неудача с их стороны была обязана крайней сложности этого метода. Действительно, разворачивая своё доказательство, Авиценна использовал логические конструкты, введённые в математику и философию только в современный период, начиная со второй половины XIX века.

Давайте начнём с рассмотрения доказательства Аристотеля.

Доказательство Аристотеля

Вместо пересказа исходного текста мы лучше дадим это доказательство в современных терминах, что позволит нам легче проследить его различные модификации, данные более поздними мыслителями.

Мы постулируем существование непустого множества V всех объектов (Вселенной). Между объектами существует бинарное отношение «причинности», обозначаемое однонаправленной стрелкой →. Таким образом, для объектов a и b отношение a → b читается как «a порождает b» («a есть причина b»), или «b происходит от a» («b есть следствие a»). Говорят, что объект b обусловлен, если есть некий другой объект a, a ≠ b, для которого верно отношение a → b. Говорят, что объект необусловлен или самодостаточен, если a → a. Немедленно мы предполагаем существование принципа причинности: «Всякий объект a либо обусловлен, либо необусловлен, и не может быть тем и другим одновременно». В методе Аристотеля также подразумевается принцип транзитивности, который мы принимаем, но только временно: «Если a → b → c, то a → c».

Принципы причинности и транзитивности в совокупности означают, что не бывает замкнутых цепей обусловленности между различающимися объектами. Предположим, что существует замкнутая цепочка обусловленности C длиной n a₁ → a₂ → …→ a_n → a₁, По принципу транзитивности, каждый a_i в C порождает всякий другой a_j. В частности, a_i → a_i для всякого номера i в C. Следовательно, любой объект a_i в C необусловлен, и, согласно принципу причинности, это означает, что ни один объект в C не является обусловленным. Таким образом, a₁ = a₂ = … a_n. Вскоре мы увидим важность этого результата для аристотелева доказательства.

Чтобы сделать вывод о наличии необусловленной причины, Аристотель делает ещё одно явно выраженное предположение, называемое принципом бесконечной регрессии: «Не может существовать бесконечная регрессия причин» (т.е. бесконечная нисходящая причинная последовательность). Давайте докажем следующее:

Теорема Аристотеля: Существует необусловленная причина.

Доказательство: Возьмём некий объект a₁ (принимаем, что множество V всех объектов не является пустым). Если a₁ необусловлен, то теорема доказана. Если нет, то, по принципу причинности, a₁ является следствием некоего другого объекта a₂, так что a₂ → a₁ и a₂ ≠ a₁. Объект a₂ может быть либо обусловленным, либо необусловленным. Если он необусловлен, то теорема доказана. Если нет, то существует некий другой объект a₃, отличающийся как от a₂, так и от a₁ (если a₃ = a₁, то возникает нетривиальная замкнутая причинная цепь, что невозможно, как было показано выше). Продолжая наши рассуждения, можно сказать, что если у нас есть причинная последовательность a_n → a_n‑1 → … →a₃ → a₂ → a₁, где каждый из объектов отличается от других, и если a_n обусловлен, то есть некий объект a_n+1 → a_n, отличающийся не только от a_n, но и от любого другого a_i, поскольку иначе мы имели бы нетривиальную замкнутую причинную цепь. Следовательно, если необусловленная причина отсутствует, мы сможем продолжать эту цепь бесконечно, что приведёт к возникновению бесконечной нисходящей причинной последовательности. Поскольку мы считаем, что это невозможно, то должно существовать такое целое положительное число m, для которого a_m является необусловленным, и a_m → a_m‑1 → … →a₃ → a₂ → a₁. Следовательно, a_m является необусловленной причиной и, по принципу транзитивности, причиной всякого другого объекта этой последовательности.

Доказательство теоремы Аристотеля называется космологическим доказательством (в отличие от чисто логического или онтологического доказательства), поскольку он ссылается, по крайней мере, на один эмпирический факт (в нашем случае — факт того, что существует, по крайней мере, один объект).

Насколько успешно доказательство Аристотеля? С позитивной точки зрения, оно логически безупречно, то есть заключение логически вытекает из предположения. Кроме того, принципы причинности и транзитивности кажутся вполне разумными, поскольку они постулируют только минимально необходимые отношения причинности. Вся тяжесть доказательства явно ложится на принцип бесконечной регрессии.

Оценить истинность принципа бесконечной регрессии затруднительно. С одной стороны, из современной математики мы знаем, что нет ничего внутренне противоречивого в предположении о существовании бесконечного дискретно-упорядоченного набора, не содержащего минимального элемента (а это и есть определение бесконечной регрессии). Отрицательные целые числа — один из примеров такой системы.

С другой стороны, бесконечную регрессию причин представить значительно сложнее. Хотя использованная Аристотелем терминология не оставляет сомнений, что он считал любую бесконечную регрессию невозможной, он пытается, тем не менее, обосновать принцип бесконечной регрессии с помощью исключительно сложной теории причинности.[2]

Доказательство Аристотеля можно также критиковать за то, что она кое-что оставляет в стороне. Из него нельзя сделать вывода об уникальности необусловленной причины, а только о её существовании. Оно полностью согласуется с предположением о том, что возможно любое количество отличающихся друг от друга необусловленных причин, каждая из которых генерирует свою причинную последовательность. Не содержится в нём и доказательства того, что любая необусловленная причина всеобща, т.е. является причиной всякого другого существующего объекта. Наконец, доказательство Аристотеля ничего не говорит о природе Бога, а только о Его существовании. Если, например, мы захотим наделить Первопричину сознанием и качеством целеполагаемости, нам придётся подыскивать другие аргументы, так или иначе идущие дальше самой идеи первопричинности.

Доказательство Авиценны

Из произведений Авиценны, касающихся данного вопроса,[3] очевидно, что он ясно понимал все слабости аристотелева доказательства. Не пытаясь придумать какого-то временного паллиатива, который позволял бы избежать этих трудностей, Авиценна разрабатывает совершенно новый подход, который вовсе не требует ссылки на принцип бесконечной регрессии.[4]

Вновь возьмём непустое множество объектов V, между которыми существует отношение причинности a → b. Мы также целиком принимаем все рассмотренные выше отношения причинности и принцип причинности (но, как выяснится позже, нам не потребуется принципа транзитивности).

Главное нововведение Авиценны состоит в том, что мы вводим второе отношение между объектами (которое мы обозначим как Î). Основная идея состоит в том, что некий объект может состоять из других объектов. Таким образом, отношение между объектами aÎb читается как «a является компонентом b». Объект b называется простым (или несоставным), если у него нет компонентов. В этом случае, ни для какого a не выполняется отношение aÎb. Если у объекта b есть хотя бы один компонент, то b называется составным.

Таким образом, согласно подходу Авиценны, объекты можно классифицировать по двум атрибутам: обусловленный – необусловленный и простой – составной, что даёт в итоге четыре логически возможных варианта.[5] Отмечая этот факт, Авиценна прибегает к метафизическим аргументам, чтобы исключить одну из этих четырёх возможностей, а именно, необусловленного составного объекта. Так возникает следующий строгий принцип сопряжённости, который мы пока примем: «Ни один составной объект не является необусловленным, или, что то же самое, всякий составной объект обусловлен».[6]

Один из аргументов, использованных Авиценной для обоснования строгого принципа сопряжённости, звучит следующим образом.

Необусловленный объект самодостаточен, он обязан своим существованием только себе самому. Однако составные объекты существуют благодаря своим компонентам, а не благодаря целому (т.е. объекту целиком, в отличие от его частей). Следовательно, никакой составной объект не может быть самодостаточным, т.е. необусловленным.

Более того, рассуждает далее Авиценна, всякий наблюдаемый, материальный объект (т.е. макрообъект) имеет физические части, т.е. является составным. Таким образом, любой простой объект должен быть бестелесным (нефизическим) и незримым (ненаблюдаемым). Наконец, он утверждает, уже не столь убедительно, что может существовать не более одного необусловленного объекта, ибо, по крайней мере, один из двух необусловленных объектов будет составным, включая в себя то, чем эти два объекта схожи (оба они необусловлены) и то, чем они отличаются. На настоящий момент мы просто примем существование принципа единственности: «Существует максимум один необусловленный объект».

Для того, чтобы представить доказательство Авиценны в логически последовательной манере, нам потребуется ещё один принцип, который мы назовём принцип мощности: если a → b и cÎb, то a → c; всякая причина a составного объекта b является также причиной любого из компонентов b.[7] Хотя Авиценна не формулирует этот принцип, он использует его в явном виде, из чего следует, что он считал этот принцип неотъемлемой частью логики отношений между причинностью и качеством сложности объектов. Теперь мы готовы доказать следующее:

Теорема Авиценны: Существует в точности одна всеобщая, необусловленная причина.

Доказательство: Пусть C будет множеством всех обусловленных объектов. Как установлено выше, любой из существующих ныне материальных объектов является составным и, следовательно, обусловленным (по строгому принципу сопряжённости). Следовательно, C является (непустым) составным объектом. Согласно тому же строгому принципу сопряжённости, всякий составной объект обусловлен. Значит, у C есть некая причина E, так что E → C, E ≠ C. По принципу причинности, объект E либо обусловлен, либо нет. Если E обусловлен, то он является компонентом C, EÎC (поскольку C является множеством всех обусловленных объектов). Таким образом, по принципу мощности, E → E, т.е. E необусловлен. Следовательно, E ≠ C является уникальным необусловленным объектом (по принципу единственности). Более того, E является всеобщей причиной, поскольку E выступает причиной всякого существующего объекта. Действительно, возьмём некий произвольный объект a. По принципу причинности, он либо обусловлен, либо нет. Если он обусловлен, aÎC, что, согласно принципу мощности, означает, что E → a. Если a необусловлен, то a = E, и следовательно, в данном случае также E → a (поскольку E → E). Таким образом, E является уникальной, необусловленной (и, следовательно, несоставной) всеобщей причиной.

В терминологии Авиценны активно используются такие понятия, как «необходимое существование» и «возможное существование». Впрочем, оказывается, что Авиценна ни разу не прибегает ни к одному из принципов модальной логики.[8] Если в текстах Авиценны заменить его термин «необходимо существующий» на наш термин «необусловленный», а «возможно существующий» — на «обусловленный», то получится доказательство, очень близкое к тому, что мы привели выше.[9] В частности, Авиценна использовал все постулированные нами принципы. Тем не менее, как мы позже увидим, эта чисто лингвистическая проблема оказалась камнем преткновения для его последователей, пытавшихся понять смысл его доказательства.

Обращаясь теперь к анализу самого доказательства, отметим, что, как и у Аристотеля, оно является космологическим, поскольку опирается на существование материальных объектов — необходимо обосновать утверждение о том, что множество C всех обусловленных объектов является нетривиальным составным объектом. Отметим также, что это доказательство, с чисто логической точки зрения, сложнее аристотелева. В действительности доказательство это сложнее большинства всех других доказательств, которые можно найти в философских текстах, и по своему тону и духу сильно напоминает математические тексты. В этом, без сомнения, проявился тот факт, что Авиценна был выдающимся математиком.

Доказательство Авиценны намного опередило своё время, и даже сейчас выглядит потрясающе современным. Его использование принципа абстракции из теории множеств для того, чтобы получить абстрактное множество C всех обусловленных объектов и представить его в виде единого составного объекта на тысячу лет опередило идеи Георга Кантора (1845-1918). Тем не менее, любой человек, хотя бы поверхностно знакомый с теорией множеств, сразу же заметит, что Авиценна несколько неправильно использует принцип абстракции. Анализируя этот дефект, мы сможем дать новую формулировку доказательству Авиценны, используя достижения современной теории множеств, причём сможем избавиться не только от самого этого дефекта, но и от нескольких лишних гипотез, которые требовались для оригинального доказательства. Давайте более тщательно рассмотрим, что нам требуется в данном случае.

Проблемы начинаются с неявного предположения Авиценны о том, что множество C всех обусловленных объектов само является объектом. С философской точки зрения довольно очевидно, что даже если все макрофизические объекты действительно являются составными, обратное неверно — т.е. совершенно очевидно, что не всякое множество объектов является составным объектом. Чтобы быть объектом, множество должно обладать некими внутренними связями или структурным единством. Не возникает никаких проблем с существованием множества C — только с его статусом. Таким образом, мы должны различать те множества объектов, которые сами являются объектами (как, например, моё тело в данный момент, состоящее из всех его клеток), и некие произвольные списки объектов, многие из которых не будут объектами (как, например, множество, включающее моё тело в его нынешнем состоянии, одно из деревьев в амазонской сельве, и айсберг, в настоящее время находящийся на Северном полюсе).

С логической точки зрения дела обстоят ещё хуже. Допустим, что множеству C можно было бы придать статус объекта. Теперь, поскольку C является составным объектом, оно обусловлено (по строгому принципу сопряжённости). Однако C является множеством всех обусловленных объектов, а также само является таким объектом. Следовательно, C является (собственной) компонентой самого себя, CÎC, что противоречит принципу фундированности теории множеств. Принцип фундированности подразумевает не только то, что никакой составной объект не может быть компонентой самого себя, но и что не бывает бесконечных или циклических цепей компонентности (принадлежности), когда a₁ ' a₂ ' … a_n ' … или a₁ ' a₂ ' … ' a_n ' a₁.[10] Несомненно, с обоими этими принципами Авиценна согласился бы.[11]

Конечно же, существуют некоторые внутренне непротиворечивые формальные теории множеств, где принцип фундированности не выполняется, но никто не знает, как можно интерпретировать эти парадоксальные системы, чтобы их можно было применить к множествам реальных объектов (например, к макрофизическим объектам).[12] Чтобы вкратце продемонстрировать парадоксальную природу самопринадлежности, проделаем такое рассуждение: очевидно, что нельзя сформировать множество объектов до тех пор, пока не сформирован каждый из входящих к него объектов (например, моё тело в его нынешней форме не может существовать до тех пор, пока не будет существовать каждая из составляющих его в данный момент клеток). Таким образом, множество C не сможет существовать до тех пор, пока не будет существовать всякий обусловленный объект. Однако множество C само является обусловленным объектом, и поэтому C не может существовать, пока не будет существовать C, которое, в свою очередь, потребует для своего существования наличия C, которое… — и мы получаем бесконечную регрессию (или замкнутую цепь, в зависимости от точки зрения на данный предмет). Получается, что рассуждение Авиценны не только не избавляет нас от бесконечной регрессии — оно само потребует для своей истинности существования бесконечных регрессий!

Несмотря на всё вышесказанное, следует признать, что при условии признания за множеством C всех обусловленных объектов качества объектности рассуждение Авиценны оказывается логически правильным (т.е. заключение логически вытекает из гипотезы). Однако условный и парадоксальный характер такого предположения сводит на нет всю полезность этого доказательства. Гипотеза о том, что Бог (всеобщая необусловленная причина) существует, более разумна, чем гипотеза объектности C, поэтому мы можем просто предположить, что Бог есть, и не мучаться по поводу логического обоснования этого предположения.

Читателю может показаться, что одним из путей решения этой дилеммы является установление некоторого естественного критерия объектности, который бы оправдал наше предположение о том, что C является объектом, и тем самым избавил это предположение от его условного характера. В доказательстве Авиценны множество C оказывается множеством всех существующих объектов за исключением Бога, и очень трудно представить себе такой естественный критерий объектности, который бы лишил права называться объектами большинство составных объектов, но оставил это право за C. Более того, все парадоксы современной теории множеств только и ждут, пока кто-нибудь выскажет слишком широкое определение критерия объектности. (Например, если мы, не подумавши, объявим одним смелым росчерком, что все множества объектов являются объектами, то мы сможем сформулировать парадокс Рассела, рассмотрев объект W, являющийся множеством всех объектов X, которые не являются компонентами самих себя, XÏX. Тогда объект W одновременно будет компонентой себя и не будет компонентой себя.) Наконец, какой бы критерий объектности мы ни приняли, остаётся ещё парадокс самопринадлежности C: предполагаемый объект C будет частью самого себя, CÎC, что противоречит принципу фундированности в теории множеств.[13]

Оказывается, наша дилемма имеет естественное решение. Ниже мы рассмотрим, каким образом использование небольшого, практически тривиального аспекта современной теории множеств вновь поднимет из руин доказательство Авиценны, причём в более сильной форме и на более мощном фундаменте, чем раньше. Однако давайте сначала посмотрим, что сделали с доказательством Авиценны его последователи.

Маймонид

В своей книге «Руководство для растерянных»[14] известный иудейский философ и богослов Маймонид посвящает один из разделов доказательствам существования Бога и Его природе.[15] Он приводит следующую версию доказательства Авиценны:

Нет сомнения, что многие вещи действительно существуют, например, то, что воспринимается чувствами. Можно представить себе только три варианта: все эти вещи не имеют начала и конца, или все имеют начало и конец, или же некоторые имеют начало и конец, а некоторые — нет. Первое из этих трёх предположений явно недопустимо, ибо мы с очевидностью наблюдаем, что объекты, начавшие существовать, впоследствии разрушаются. Второе предположение также недопустимо, ибо если бы всё обладало лишь временным существованием, всё сущее могло бы разрушиться, а то, что объявляется возможным для какого-то класса вещей, непременно исполнится. Всё сущее, таким образом, должно завершиться, и ничего тогда не существовало бы, потому что не было бы ничего, что могло бы породить нечто. Следовательно, не было бы вообще ничего [если бы всё сущее было преходяще]; но поскольку мы видим, что вещи существуют, и существуем мы сами, мы делаем следующее заключение: Поскольку, несомненно, есть вещи временные, должно существовать и некоторое вечное существо, не подверженное тлению, существование которого обязательно, а не просто возможно.[16]

На этой стадии своего рассуждения Маймонид устанавливает наличие, по крайней мере, одного вечного (непреходящего) объекта. Однако даже вечные объекты могут быть обусловленными. Поэтому он продолжает: «Говорят также, что бытие такого существа необходимо, либо из себя самого, либо из-за какой-то внешней силы».[17] Затем он утверждает, что если бы бытие вечного существа зависело от некоей внешней силы, то «эта сила была бы тем самым, что существует абсолютно».[18] Следовательно, «Очевидно…, что должно быть такое существо, которое пребывает абсолютно и независимо, и является источником бытия всех прочих вещей, как преходящих, так и вечных… Таково доказательство, в истинности которого никто не сомневается, которое никто не опровергает и не ставит под сомнение, за исключением тех, у кого нет никакого знания ни о методе, ни о доказательстве».[19]

Затем Маймонид обращается к вопросу о составных объектах в сравнении с простыми, заключая, что никакой необусловленный объект не может быть составным: «Мы также утверждаем, что бытие чего бы то ни было, обладающего независимым существованием, не обязано никакой причине… и что такое нечто не содержит никакой множественности… следовательно, это не может быть тело или сила, пребывающая в теле».[20] Наконец, он приводит метафизический аргумент, весьма похожий на авиценновский, чтобы доказать: может существовать единственный объект (Бог), обладающий «абсолютным и независимым существованием».[21]

Следует отметить, что Маймонид лишь косвенно ссылается на Авиценну (без прямого упоминания его имени) и заявляет, что доказательство «взято из слов Аристотеля, хотя тот даёт его в другой форме».[22] Однако использованная терминология и общая последовательность аргументов почти не оставляют сомнений, что Маймонид почерпнул своё доказательство у Авиценны. Этот факт, кстати, уже давно признан учёными.[23]

Давайте определим сходные элементы и отличия в доказательствах Маймонида и Авиценны. Во-первых, каждый из этих авторов рассматривает некий класс объектов. Для Авиценны это класс C всех обусловленных объектов, для Маймонида — множество T всех преходящих сущностей. Однако затем авторы расходятся в своих рассуждениях.

Авиценна, опираясь на строгий (или нестрогий) принцип сопряжённости, устанавливает, что множество (составное) C всех обусловленных объектов должно порождаться неким объектом E. Но если ни одного необусловленного объекта не существует, то E должно быть обусловленным и, следовательно — компонентом самого C, EÎC. По принципу мощности, это подразумевает, что E → E, т.е. E является необусловленным объектом, что противоречит высказанному предположению. Значит, необусловленный объект существует и является причиной C.

Маймонид, с другой стороны, использует идею, которую мы можем назвать «принципом мимолётности»: «Любое множество преходящих объектов преходяще». Таким образом, множество T всех преходящих объектов преходяще. Таким образом, если бы существовали только преходящие объекты, то всё давно исчезло бы. Однако, поскольку мы наблюдаем наличие в настоящее время большого количества (преходящих) вещей, то, согласно Маймониду, есть хотя бы один вечный (непреходящий) объект.

К сожалению, доказательство Маймонида неприемлемо, потому что (как он сам признаёт) вечный объект, существование которого он доказал, может оказаться обусловленным (конечно же, будучи порождён только другим вечным объектом). Поэтому он ссылается (неявно, но тем не менее достаточно чётко) на аристотелев принцип бесконечной регрессии, заключая, что есть некоторая необусловленная, вечная сущность, которая «есть источник существования всех вещей, как преходящих, так и вечных».

Против доказательства Маймонида можно выдвинуть ряд серьёзных возражений. Во-первых, он упускает из своей собственной типологии сущностей все логические возможности. Он рассматривает сущности, не имеющие ни начала, ни конца (вечные), и имеющие как начало, так и конец (преходящие). Однако логически вполне возможно, что есть объекты, которые имеют конец, но не имеют начала, или имеют начало, но не имеют конца. Действительно, ряд основных религий содержат доктрину «особого сотворения душ», согласно которой каждое человеческое существо наделено нефизической, несоставной душой или духом, имеющей начало (созданной Богом), но не имеющей конца (бессмертной).[24] Это упущение серьёзно ослабляет доказательство Маймонида, причём ещё прежде, чем он переходит к главным аргументам. Авиценна, напротив, чётко перечисляет в своей типологии все логические возможности: обусловленные – необусловленные и простые – составные.

Вместе с тем, даже если мы примем маймонидское дуалистичное деление объектов на преходящие и вечные, возникнут серьёзные трудности с принципом мимолётности: «то, что объявляется возможным для какого-то класса вещей, непременно исполнится». Делая вывод о том, что (локальная) мимолётность каждого отдельного (преходящего) объекта означает глобальную мимолётность класса T преходящих объектов, Маймонид явно упускает из виду логическую возможность того, что система, состоящая только из преходящих объектов, может существовать вечно благодаря (может быть, достаточно сложной) последовательности взаимодействий, в ходе которых объекты исчезают и рождаются вновь, но таким образом, что общего (одновременного) вымирания всех объектов не наступает. В этом случае каждый индивидуальный объект является преходящим, однако система в целом (т.е. «класс») вечна.

Существует также логическая возможность того, что все вещи преходящи и в конце концов исчезнут, но что этого ещё не произошло. Эта возможность решительно опровергает заявление Маймонида о том, что «не было бы вообще ничего [если бы всё сущее было преходяще]».

Кроме того, утверждая, что неизбежным концом Вселенной, составленной только из преходящих объектов, будет полное небытие, Маймонид противоречит общепринятому философскому принципу, что даже временное существование не может окончиться полным небытием. В современной науке этот принцип называется законом сохранения массы-энергии: видимое «разрушение» макрофизического объекта в действительности является просто преобразованием массы-энергии этого объекта в другие формы, тогда как общая масса-энергия Вселенной остаётся неизменной. На самом деле, Маймонид приводит в качестве прототипичного примера мимолётности не что иное, как рождение и последующую гибель макрофизических объектов.

Таким образом, принцип мимолётности Маймонида не только неубедителен, но и полностью несостоятелен. И вновь, по контрасту с ним, принцип сопряжённости Авиценны весьма убедителен, особенно в его нестрогой форме: «Если всякий объект класса обусловлен, то обусловлен и весь класс».

Наконец, из-за рассмотрения класса T преходящих объектов, а не класса C обусловленных объектов, Маймонид вынужден прибегать к дополнительным аргументам с целью установить существование необусловленного объекта, несмотря на то, что он к этому моменту уже установил существование вечного объекта. Поэтому он вынужден апеллировать к принципу бесконечной регрессии Аристотеля, чего полностью избегает Авиценна. Поэтому, в определённом смысле, доказательство Маймонида не представляет собой никакого реального шага вперёд по сравнению с доказательством Аристотеля.

Подведём итог вышесказанному. Авиценновская типология сущностей явным образом рассматривает все логические возможности (обусловленный, необусловленный, простой, составной), тогда как маймонидовская — нет. В то время, как Авиценна утверждает, что уникальная причина собрания всех обусловленных объектов является необусловленной, Маймонид настаивает на том, что во Вселенной есть только преходящие объекты. В то время, как Авиценна основывает своё доказательство на весьма правдоподобном предположении (принцип сопряжённости), Маймонид неубедительно (а в действительности — ложно) говорит о том, что если бы существовали только преходящие объекты, то все объекты давно перестали бы существовать. Наконец, в то время, как авиценновское доказательство является внутренне завершённым (если не принимать во внимание проблему условий объектности для классов), то маймонидовское — нет, поскольку требует апелляции к аристотелевскому принципу бесконечной регрессии, которого Авиценна полностью избегает.

Помимо вопроса о сравнительной ценности этих двух доказательств, самым важным замечанием является то, что Маймонид либо не понял, либо неправильно применил метод Авиценны. Ибо если вывод об обусловленности класса неких объектов на основе обусловленности его индивидуальных компонентов весьма правдоподобен, рассуждение о мимолётности класса объектов на основе мимолётности его компонентов является сомнительным, как было показано выше.

Защитник Маймонида может заявить, что Маймонид в действительности понял метод Авиценны, осознал трудность с условием объектности класса C, и попытался исправить эту ошибку с помощью своего злосчастного аргумента мимолётности. Однако гораздо более грубые ошибки в маймонидовской версии доказательства, плюс тот факт, что Маймонид даже не упоминает авиценновской аргументации, не говоря уже о каких-то попытках её проанализировать, в достаточной мере свидетельствуют, по моему мнению, против такой возможности.

Фома Аквинский

Версия авиценновского доказательства, разработанная Фомой Аквинским, содержится в его знаменитой работе «Сумма богословия».[25] Мы процитируем весь соответствующий отрывок:

Третий способ [доказать существование Бога] основывается на том, что может не существовать, и чему существовать дόлжно, и звучит следующим образом. Некоторые вещи, кои мы встречаем, могут быть, однако их бытие не обязательно, ибо мы находим, что они появляются и исчезают, то есть иногда они есть, а иногда их нет. Однако всё не может быть таковым, ибо то, что не существует обязательно, когда-то не существовало; а если ничто не должно было бы существовать обязательно, то в этом случае когда-то не было ничего. Но если бы дело обстояло так, то и сейчас не было бы ничего, потому что нечто несуществующее может обрести бытие только посредством чего-то уже существующего. Следовательно, если не было ничего, то ничего и не появилось бы, и ничего не было бы сейчас, что противоречит наблюдениям. Значит, не всё сущее таково, что его существование необязательно; должно быть что-то, чему дόлжно быть. Далее, нечто, чему дόлжно быть, может быть или не быть обязано своим долженствованием чему-то другому. Но точно так же, как мы должны остановиться где-то в цепи причин, также должны мы остановиться где-то и в цепи вещей, кои должны существовать и обязаны своим существованием другим вещам. Следовательно, приходится предположить наличие чего-то, чему дόлжно быть, и что обязано этим только самому себе; в действительности, оно и есть причина того, что обязаны существовать другие вещи.[26]

Доказательство Фомы Аквинского, вероятно, можно считать более стройной версией маймонидовского доказательства. В частности, доказательство Фомы Аквинского имеет ту же двухступенчатую структуру, что и маймонидовское, где сначала делается попытка установить наличие, по крайней мере, одного обязательно существующего объекта, а затем следует обращение к принципу бесконечной регрессии Аристотеля с целью доказать, что среди необходимо существующих вещей есть одна, необходимая сама по себе. Конечно, между ними есть разница, хотя бы в том, что Фома Аквинский говорит о необходимом существовании, тогда как Маймонид говорит о нетленности. В отношении использования необходимости язык Фомы Аквинского, в действительности, ближе к авиценновскому, чем к маймонидовскому. Однако в доводах Фомы Аквинского отсутствуют сколь-нибудь заметные следы метода Авиценны. В частности, Авиценна прилагает большие усилия к тому, чтобы обосновать принцип сопряжённости, Маймонид явно формулирует принцип мимолётности, тогда как Фома Аквинский просто выдвигает два предположения без каких-либо обоснований. Он утверждает, во-первых, что никакой необязательный объект не мог существовать всегда, а во-вторых, что если было время, когда никакой ныне существующий объект не существовал, то было и время, когда ничего не существовало.[27]

С позитивной точки зрения, Фома Аквинский явно избегает самую сомнительную часть доказательства Маймонида — что Вселенная, состоящая только из преходящих объектов, может закончиться полным небытием. Фома Аквинский скорее утверждает, что мир, состоящий только из необязательных объектов, вообще никогда не смог бы возникнуть. Тем не менее, Фома Аквинский не приводит никаких доводов с целью опровергнуть логическую возможность того, что Вселенная, даже и состоящая только из необязательных объектов, существовала всегда. В этом случае Вселенной никогда не надо было обретать бытие, она всегда существовала — даже если отдельные объекты иногда появлялись, а затем исчезали. На самом деле, такой взгляд на Вселенную довольно близок к современной научной космологии, как уже было показано в нашем обсуждении доказательства Маймонида.

Утверждения Фомы Аквинского о том, что любой необязательный объект когда-то должен был не существовать, также можно поставить под сомнение. Существование необязательного объекта A зависит от некоторых условий K. Фома Аквинский, вероятно, пытался утверждать, что если условия K могут не выполняться, то в какой-то прошедший момент времени они обязательно не выполнялись. Таким образом, непременно в какой-то из моментов времени в прошлом объект A не существовал. Такой логический вывод из возможности несуществования о необходимости несуществования не подтверждается никакими общепринятыми принципами модальной логики.

Вероятно, Фома Аквинский ссылается на аристотелев принцип того, что всякая возможность должна рано или поздно реализоваться. Однако возможность — не то же самое, что потенциал (особенно в том, что касается существования), и ставить знак равенства между ними в данном контексте означает попадать в классическую ловушку рассмотрения существования как предиката. Кроме того, даже если мы, теоретически, примем предположение о том, что необязательный объект должен был когда-то не существовать (т.е. реализовать свой потенциал несуществования), по-прежнему остаётся логическая возможность того, что данный необязательный объект A всегда существовал до настоящего момента, но прекратит своё существование в будущем (когда исчезнут условия K его существования).

Таким образом, Маймонид настаивает на том, что все преходящие объекты должны, в конце концов, исчезнуть, тогда как Фома Аквинский утверждает, что никакой необязательный объект не мог существовать всегда. Каждый из этих философов делает «однонаправленный» вывод о несуществовании, но в разных направлениях, обобщая прошлое или будущее небытие отдельных объектов на прошлое или будущее небытие всей Вселенной необязательных (или преходящих) объектов.

Таким образом, даже избегая наиболее серьёзного дефекта маймонидовского доказательства (а именно, заявления о том, что относительное существование может закончиться полные несуществованием), доказательство Фомы Аквинского содержит серьёзное упущение в виде нелогичного заключения о том, что возможное несуществование означает обязательное несуществование, а отсутствие в прошлом необязательных объектов означает отсутствие в прошлом системы, составленной из таких объектов. Более того, из текста Фомы Аквинского вообще исчезли все следы авиценновского метода. Действительно, давайте вспомним здесь, что одним из главных достижений доказательства Авиценны было то, что он избежал ссылок на аристотелевский принцип бесконечной регрессии, тогда как двухступенчатая структура доказательств Маймонида и Фомы Аквинского нуждается в этом принципе.

Судя по всему, начиная с XIII века «Сумма богословия» Фомы Аквинского была главным источником, по которому цитировалось доказательство Авиценны,— по крайней мере, среди западных философов. Если это действительно так, то отчасти этот факт обязан, вероятно, незнанию ими арабского языка, а также предположению о том, что формулировка этого доказательства Фомой Аквинским полностью соответствовала оригиналу.

Например, объяснив свой принцип «достаточной причины», согласно которому всякий существующий объект должен иметь достаточную причину для своего существования, Лейбниц просто заявляет, что «обусловленные сущности… могут иметь свою окончательную или достаточную причину только в необходимом Существе, которое имеет причину своего существования в себе самом».[28] В другом месте Лейбниц также открыто заявляет, что собрание или множество всех обусловленных сущностей не может заключать в себе причину собственного существования.[29] Этот последний довод, на самом деле, в явной форму повторяет авиценновский принцип сопряжённости, но я не знаю, был ли знаком Лейбниц с доказательством Авиценны в его исходном виде. В любом случае, принцип сопряжённости, конечно же, достаточно естественен, чтобы другие философы сформулировали его независимо от Авиценны. Лейбницевская форма авиценновского доказательства использовалась иезуитским философом Ф. Ч. Коплстоном (F. C. Copleston) в его знаменитом споре с Бертраном Расселом о существовании Бога.[30]

Формализация доказательства Авиценны

Мы прервали наше обсуждение доказательства Авиценны, так и не разрешив дилемму о статусе объекта для множества всех обусловленных объектов. Предлагаемое нами решение опирается на два основных источника: современную теорию множеств, впервые чётко сформулированную Джоном фон Нейманом,[31] и современную физику, точнее — теорию элементарных частиц. В частности, мы расширим онтологию Авиценны, включив в неё не только (простые и составные) объекты, но и явления, т.е. классы или множества (системы) объектов, которые могут и не быть объектами. Более того, в отличие от Авиценны, который считает, что причинность — это связь между объектами, мы утверждаем, что более правильно (и естественно) было бы считать её отношением между явлениями. Наконец, эта расширенная онтология потребует некоторого уточнения принципа мощности, однако никакие новые принципы нам не потребуются. В действительности, это позволит нам избавиться от нескольких аксиоматических принципов, которые казались необходимыми Авиценне, но которые мы сможем вывести из наших гипотез.

Таким образом, у нас есть три различные онтологические категории: 1) простые (несоставные, или атомарные) объекты; 2) составные объекты; 3) композиции (классы), которые не являются объектами. В теории множеств фон Неймана эти категории соответствуют индивидам (urelemente), множествам и собственным классам. Композиции обычно являются классами (как объекты, так и необъекты). Мы используем термин «явление» в широком смысле, как охватывающее все три категории. Таким образом, есть простые явления и составные явления, а среди составных явлений некоторые являются отдельные объектами, а некоторые — нет.

В физической Вселенной, согласно современным представлениям, эти три категории соответствуют элементарным частицам, физическим веществам (т.е. макрофизическим объектам) и множествам макрофизических объектов (явления, системы или события). Мы предполагаем, что причинность, обозначаемая как →, является отношением между явлениями (любых типов). Таким образом, любое явление A, как простое, так и составное, может быть (а может и не быть) причиной любого другого явления B.

Руководствуясь этими рассуждениями, пусть и весьма неформальными, мы затем формализуем соответствующую версию доказательства Авиценны в рамках определённого, достаточно узкого сегмента неймановской теории множеств. В основе нашего доказательства будет лежать классическая (немодальная) логика первого порядка с равенством. Наш язык L включает следующие экстралогические примитивные предикатные символы: один унарный предикатный символ «At» для «атомарный» и два бинарных предикатных символа Î для «является компонентом» и → для «порождает» (или «является причиной»). Есть также один экстралогический символ константы V для «множества всех объектов». Термины, формулы и предложения языка L определяются обычным образом, за исключением используемой нами инфиксной записи xÎy и x→y вместо формального Î(x,y) или →(x,y) для атомарных формул, использующих Î и →. Мы используем также следующие символы:

Ø     отрицание (логическое НЕ)

Ù     конъюнкция (логическое И)

Ú     дизъюнкция (логическое ИЛИ)

Þ    условие

Û   эквивалентность

"     квантор всеобщности

$     квантор существования

=     равенство

Мы используем эти данные сначала для того, чтобы определить два новых унарных предикативных символа «Cl» для «класс» (или «является составным») и «En» для «объект», и один бинарный предикативный символ Í для «является частью» (или «является подклассом»). Дадим следующие определения:

D.1.           Cl(x) для ØAt(x). Класс (составной) x — это всё, что не является простым.

D.2.           En(x) для xÎV. Объект является компонентом множества V всех объектов (Вселенной).

D.3.           xÍy для (Cl(x)ÙCl(y)Ù("z)(zÎx Þ zÎy)). x является субъявлением (подсистемой) y, если x и y являются составными и любой компонент x является также компонентом y.

Заметим, что D.3. — классическое определение включения классов из теории множеств.

Далее мы введём аксиоматику того фрагмента теории множеств, который потребуется в нашем доказательстве.

S.1.            At(x) Þ En(x). Всякий атом является объектом.

S.2.            ("x)("y)(xÎy Þ En(x)ÙCl(y)). Только объекты являются компонентами, и только классы имеют компоненты.

S.3.            Ø(xÎx). Ничто не является компонентом самого себя.

Отметим, что нам не требуются никакие операции приведения, равно как и аксиома объёмности. Кроме того, среди наших трёх аксиом нет явных предположений о существовании, и ни один из наших философских принципов не постулирует прямо существование явлений.

Конечно, правила логики первого порядка подразумевают существование, по крайней мере, одного явления. В частности, наш экстралогический символ константы V должен интерпретироваться как обозначающий некоторое определённое явление. В самом деле, приведённые выше аксиомы и определения подразумевают, что V не является ни атомом, ни объектом, поскольку, согласно S.3 и D.2, V не является объектом и, таким образом, по S.1 и D.1, не является атомом. Таким образом, мы доказали нашу первую теорему: Cl(V)ÙØEn(V), т.е. V является композицией объектов, которая сама не является объектом. Это согласуется с предполагаемой интерпретацией V как множества (композиции) всех существующих объектов.

Теперь мы представим специфическое философское предположение, на которое опирается наше доказательство, начав с двух дополнительных определений унарных предикативных символов «Un» для «необусловленный» (или «самодостаточный») и «Cn» для «обусловленный».

D.4.           Un(a) для ("x)(x → a Û x = a). a необусловлено, если a является причиной a и единственной причиной a.

D.5.           Cn(a) для (Ø(a → a))Ù($x)(x → a Ù x ≠ a). a обусловлено, если a не является необусловленным и если a порождено неким x, отличным от a.

Это те же самые определения «необусловленного» и «обусловленного», что были неформально даны выше. Отметим, что Un(a) и Cn(a) взаимоисключающи (одно является отрицанием другого).

А теперь перейдём к нашим философским предположениям.

P.1.            ("x)(Un(x) Ú Cn(x)). Принцип причинности. Любое явление либо обусловлено, либо нет.

P.2.            (a → b) Þ ("x)((xÎbÚxÍb) Þ (a → x)). Принцип мощности. Любая причина a явления b также выступает причиной любого компонента и любого подъявления b.

P.3.            ("x)((Cl(x)Ù("y)(yÎxÞCn(y)))ÞCn(x)). (Нестрогий) принцип сопряжённости. Если каждый компонент композиции a обусловлен, то вся композиция обусловлена.

P.2 должным образом обобщает принцип мощности, распространяя его действие не только на объекты, но на явления в целом. Это означает, что отношения причинности, выраженные нашими аксиомами, являются отношениями «полной причинности»: чтобы a было причиной b, оно должно быть способно самостоятельно произвести b.

Отметим, что нам не потребовались ни принцип транзитивности, ни аристотелев принцип бесконечной регрессии. Таким образом, наши аксиомы ни подтверждают, ни опровергают возможность замкнутых цепей причинности между разными объектами или бесконечную регрессию причин. Вместе с тем, логическая аксиома S.3 исключает некоторые циклы принадлежности компонентов. Мы можем подытожить всё это, сказав, что наши аксиомы позволяют причинности быть сколь угодно сложной, но накладывают определённые (минимальные) ограничения на потенциальную сложность принадлежности компонентов. Для целей нашего доказательства очень важно не путать отношения причинности → с отношениями принадлежности Î.

Наша цель — доказать предположение ($x)(At(x)Ù("y)(x→y)), которое утверждает наличие атомарного объекта, который является причиной всего сущего (и, следовательно, самодостаточен). Из этого можно будет сделать также вывод о том, что такой объект уникален. То, что такое строгое утверждение о существовании следует из наших шести предположений (ни одно из которых ничего не говорит о существовании), конечно же, не является немедленно очевидным. Более того, мы уже доказали, что всеобщий класс V не является атомарным и, в действительности, не является даже объектом. То, что такой вывод действительно следует из этих предположений, свидетельствует о силе метода, впервые разработанного Авиценной и данного в его доказательстве.

Желаемый результат является последней теоремой в нижеследующей последовательности. Мы не будем приводить полностью формальных доказательств, но ограничимся полуформальными, где будут использоваться символы описанного выше языка вперемешку с обычными разговорными терминами.

T.1. Cl(a) Þ Cn(a).

Доказательство: Примем гипотезу Cl(a) и предположим, что ØCn(a). Тогда, согласно P.3, существует некоторый yÎa, для которого верно ØCn(y). Следовательно, по P.1, верно Un(y), и отсюда (по D.4) также y→y. Но, опять же по P.1 и D.4, Un(a) и верно a→a. Теперь, применяя P.2 с b = a и x = y, получаем a→y. Тогда, по D.4 в применении к y, a = y. Отсюда, заменой эквивалентных членов, верно aÎa, что противоречит S.3. Это противоречие устанавливает, что Ø(ØCn(a)), т.е. Cn(a), и отсюда Cl(a) Þ Cn(a).

T.1 утверждает, что любое составное явление обусловлено. Это строгий принцип сопряжённости, явно принятый Авиценной, но здесь мы вывели его из нестрогого принципа сопряжённости P.3 и других наших предположений. В частности, T.1 определённо исключает возможность того, что Вселенная V может быть самодостаточной.

Мы получаем простое, но важное следствие из T.1:

T.2. Un(a) Þ At(a).

Доказательство: По D.4 и D.5 Un(a) подразумевает ØCn(a), что, по T.1, подразумевает ØCl(a), и, следовательно, по D.1, At(a).

Таким образом, любой самодостаточный объект должен быть атомарным.

T.3. (aÎbÙUn(a)) Þ (a→b)

Доказательство: Предположим, что aÎb и Un(a). По S.2, T.1 и D.5 существует такой x → b, x ≠ b. Следовательно, по P.2 и aÎb, x → a. Отсюда, принимая во внимание, что Un(a) и D.4, x = a. Заменой эквивалентных членов получаем a → b, что и требовалось доказать.

T.3 устанавливает, что необусловленный объект является причиной любой композиции, в которую он входит.

T.4. ("x)("y)((Un(x)ÙUn(y)) Þ (x = y))

Доказательство: Предполагая, что Un(x) и Un(y), мы немедленно получаем At(x) и At(y) по T.2, и, таким образом, En(x) и En(y) по S.1 и, наконец, xÎV и yÎV по D.2. Согласно T.3 в применении к a = x и b = V, мы имеем x → V. По P.2, мы получаем x → y, что, по Un(y) и D.4, даёт x = y, что и требовалось доказать.

T.4 устанавливает, что существует максимум один необусловленный объект.

T.5. ($x)(Un(x)Ùx → V).

Доказательство: По P.1, D.4 и D.5, существует такой x, для которого верно x → V. Такой x является либо атомарным, либо составным. Предположим, что x составной, т.е. верно Cl(x). Также D.1, D.2, S.1 и S.3 подразумевают, что верно Cl(V) (как мы уже неформально упоминали выше). Наконец, по S.2 всякий компонент y множества x является объектом. Применяя к этим данным D.3, мы получаем x Í V. Теперь, по P.2, верно x → x. Таким образом, по P.1, D.4 и D.5, верно Un(x) и, следовательно, по T.2 верно At(x). Таким образом, Cl(x), т.е. ØAt(x), подразумевает, что At(x). Отсюда верно At(x). Однако в этом случае At(x) подразумевает, что En(x), что означает xÎV, что, в свою очередь, означает, по принципу мощности, что x → x. Таким образом, по P.1 и D.4, Un(x). Заключение достигнуто.

Теперь мы установили, что есть уникальный, необусловленный объект, являющийся причиной Вселенной V всех объектов. Давайте обозначим этот объект G. В этом случае получаем:

T.6. ("x)(G → x).

Доказательство: Любой x либо атомарный, либо составной. Если x атомарный, то он является объектом и поэтому компонентом V. Таким образом, по T.5 и принципу мощности, G → x. Если x — композиция, то xÍV по D.3, и G → x согласно принципу мощности.

Таким образом, Бог существует, Он уникален и является фундаментальной причиной любого существующего явления.

Здесь необходимо подчеркнуть исключительно важную позитивную роль такого формализованного доказательства: его логика абсолютно безупречна. Любой человек, принимающий правильность самой логики, но возражающий против финального вывода, имеет единственный выход: отвергнуть одну из шести аксиом S.1-S.3 и P.1-P.3. Или, если сформулировать это предложение в позитивном смысле, для всех людей, принимающих истинность логики, дебаты о существовании Бога можно свести к обсуждению наших шести аксиом. Таким образом, можно сказать, что наше формальное доказательство «локализует» обсуждения существования Бога.

С философской точки зрения, бремя доказательства ложится в первую очередь на принцип сопряжённости P.3. Обсуждение философской правдоподобности принципа сопряжённости в контексте доказательства существования Бога см. в моей книге «Логика и Логос» (Logic and Logos), где также даются определения из теории множеств и модели причинных отношений.[32]

Заключение

Наша «математизация» доказательства Авиценны, без сомнения, значительно сложнее, чем большинство других доказательств, встречающихся в философских текстах. Философы, особенно метафизики, жившие до современной эпохи, были склонны, скорее, умножать философские допущения, чем усложнять логику своих доказательств.

Вкратце наш подход здесь заключался в том, что мы взяли базовый метод, впервые применённый Авиценной, и, используя некоторые современные инструменты, продолжили его до его логического завершения. Однако все основные идеи, безусловно, присутствовали в исходном изложении Авиценны. Поэтому я считаю, что вполне правомерно считать Авиценну «духовным отцом» современной теории множеств, точно так же, как Лейбниц считается духовным отцом современной логики.

К оглавлению библиотеки	К предыдущей статье: Пролог. Вопрос о существовании Бога	К следующей статье: Естественнонаучное доказательство существования Бога